Gradientenfeld Beispiel Essay

Das Skalarpotential, oft einfach auch nur Potential genannt, ist in der Mathematik ein – im Unterschied zum Vektorpotential – skalares Feld, dessen Gradient gemäß folgender Formel

ein „Gradientenfeld“ genanntes Vektorfeld liefert.

Ist ein konservatives Kraftfeld, in dem die Kraft dem Prinzip des kleinsten Zwanges folgend stets der Richtung des maximalen Anstiegs des Potentials entgegengerichtet ist, gilt alternativ die Definition

Skalarpotentiale bilden u. a. die mathematische Grundlage der Untersuchung konservativer Kraftfelder wie des elektrischen und des Gravitationsfelds, aber auch von wirbelfreien sogenannten Potentialströmungen.

Formale Definition und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Skalarfeld ist genau dann ein Skalarpotential, wenn es in einem einfach zusammenhängenden Gebiet

  1. zweimal stetig differenzierbar ist, das heißt keine „Sprünge“, Stufen oder andere Unstetigkeitsstellen enthält;
  2. zu ihm ein Vektorfeld existiert, so dass gilt:

wird daher oft auch das zugehörige Gradientenfeld genannt, das als Gradient des Skalarpotentials seinerseits stets folgende Bedingungen erfüllt [1]:

  1. Wegunabhängigkeit des Kurvenintegrals: Der Wert des Kurvenintegrals entlang einer beliebigen Kurve S innerhalb des Feldes ist nur von ihrem Anfangs- und Endpunkt abhängig, nicht dagegen von ihrer Länge.
  2. Verschwinden des geschlossenen Kurvenintegrals für beliebige Randkurven S:
  3. Generelle Rotationsfreiheit bzw. Wirbelfreiheit des Feldes:

Es lässt sich zeigen, dass die zuletzt genannten drei Charakteristika eines Gradientenfelds einander mathematisch gleichwertig sind, das heißt allein schon die Erfüllung einer der drei Bedingungen genügt, damit auch die beiden anderen gelten.

Potentialfunktionen und harmonische Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bildet man mit Hilfe des Laplace-Operators die Summe der zweiten partiellen Ableitungen eines Skalarpotentials

sind vom Prinzip her zwei Ergebnisse möglich:

  1. Die Summe ist eine von Null verschiedene Funktion , oder aber
  2. Die Summe ist – als Sonderfall von 1) – stets gleich Null.

Ausgehend davon können skalare Potentiale noch einmal wie folgt klassifiziert werden:

Poisson- und Laplace-Felder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die sich als Gradienten eines skalaren Potentials ergebenden Vektorfelder sind stets wirbelfrei und werden daher – im Gegensatz zu „Wirbelfeldern“ – oft unter dem Überbegriff „Quellenfelder“ zusammengefasst [4], was nicht heißt, dass sie deshalb nicht trotzdem quellenfrei sein können.

Je nachdem nämlich, ob es sich bei den zugrundeliegenden Potentialen lediglich um Lösungen einer Poisson-Gleichung oder außerdem der Laplace-Gleichung handelt, kann man auch die aus ihnen gewonnenen Gradientenfelder noch einmal wie folgt klassifizieren:

  • Gradientenfelder, die sich aus Lösungen einer Poisson-Gleichung mit ergeben, werden „Poisson-Felder“ oder auch „Newton-Felder“ [4] genannt und sind lediglich wirbelfrei. Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Raum(ladungs)dichte und ist es damit eine partikuläre Lösung einer entsprechenden inhomogenen (poissonschen) Differentialgleichung , wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Poisson-Feld“ bzw. „Newton-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das Gravitationsfeld oder das elektrische Feld in Abwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, deren Wirkung damit stets räumlich unbegrenzt ist.
  • Gradientenfelder harmonischer Funktionen dagegen, die sich aus Lösungen der Laplace-Gleichung (bzw. einer Poisson-Gleichung mit  ) ergeben, werden „Laplace-Felder“ genannt und sind außerdemquellenfrei[2]. Anders gesagt: Beruht ein skalares Potential auf einer Flächen(ladungs)dichte auf der Oberfläche geladener Körper und ist es dabei die homogene Lösung einer homogenen (laplaceschen) Differentialgleichung für die entsprechend gewählten Randbedingungen, wird das sich aus dem Potential ableitende Gradientenfeld „Laplace-Feld“ genannt. Beispiele solcher Felder sind etwa das elektrische Feld in Anwesenheit einer entgegengesetzten zweiten Ladung, auf der die von der ersten Ladung ausgehenden Feldlinien enden. „Laplace-Felder“ besitzen also stets einen „Rand“ im Endlichen, während dieser bei „Poisson–“ bzw. „Newton-Feldern“ quasi im Unendlichen liegt.

Für die Superposition beider Feldtypen schließlich lässt sich in der Regel eine sogenannte totale Potentialfunktion formulieren, die die Summe je einer partikulären und homogenen Lösung der obengenannten Differentialgleichungen ist. [4]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das mit Abstand bekannteste Skalarpotential ist das sogen. „newtonsche Potential“

das allerdings nur im Dreidimensionalen, also für , eine die Laplace-Bedingung erfüllende harmonische Funktion ist. Umgekehrt ist das dem „newtonschen Potential“ im Zweidimensionalen vergleichbare „logarithmische Potential“ [5]

ebenso wie die Funktion ln(1/r) = -ln(r) nur dort, also für , eine harmonische Funktion, im Dreidimensionalen dagegen ein gewöhnliches Potential mit ΔΦ = 1/r² bzw. ΔΦ = −1/r². Ebenfalls nur für definierte harmonische Funktionen sind außerdem die Funktionen und .

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff Potential in seiner heutigen mathematischen Bedeutung geht auf den französischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange zurück, der bei der Untersuchung des newtonschen Gravitationsgesetzes

schon 1773 feststellte, dass die Komponenten-Zerlegung der Kraft F, der eine Punktmasse im Gravitationsfeld einer zweiten Punktmasse ausgesetzt ist, auf drei Teilkräfte Fx, Fy und Fz hinausläuft, die allesamt als partielle Ableitungen einer gemeinsamen skalaren „Stammfunktion“ U(x0;y0;z0) interpretiert werden konnten [6]:

Das Gravitationspotential einer homogenen Kugel

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